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考研數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題技巧

時(shí)間:2021-01-15 19:23:35 考研試題 我要投稿

2016考研數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題技巧

  歷年考研試題中都涉及數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的問題,這是考察的重點(diǎn)和關(guān)鍵。下面就以考研真題為例,總結(jié)歸納了函數(shù)的極值和最值、積分、微分方程和概率等考研中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的四大類型以及各個(gè)類型問題的解法。

2016考研數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題技巧

  函數(shù)的極值和最值模型

  函數(shù)的極值和最值的應(yīng)用問題主要分為一元函數(shù)和多元函數(shù)的極值和最值的應(yīng)用,解決這類問題的思路是:第一根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式及求出函數(shù)的定義域;第二利用求函數(shù)極值和最值的方法求解。

  例如:某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷售,售價(jià)分別為p1,p2;銷售量分別為q1和q2;需求函數(shù)分別為q1=24-0.2p1,q2=10-0.05p2;總成本函數(shù)為C=35+40(q1+q2)。試問:廠家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的售價(jià),能使其獲得的總利潤最大?最大總利潤是多少?

  分析:這是一個(gè)典型的二元函數(shù)求最值問題。首先要根據(jù)題意求出總利潤函數(shù):總利潤=總收益-總成本;其次求出函數(shù)的定義域;最后根據(jù)二元函數(shù)求最值的方法求解即可。

  積分模型

  在積分的應(yīng)用過程中關(guān)鍵要解決好兩個(gè)問題:一是什么樣的量可以用積分來表達(dá);二是用什么樣的積分表達(dá),即確定積分區(qū)域和被積表達(dá)式。

  例如:某建筑工程打地基時(shí),需用汽錘將樁打進(jìn)土層. 汽錘每次擊打,都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功。設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù)為kk>0)。汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下am。根據(jù)設(shè)計(jì)方案,要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r(0

  問: (1) 汽錘擊打樁3次后,可將樁打進(jìn)地下多深?(2) 若擊打次數(shù)不限,汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深?(注:m表示長度單位米)

  分析:本題屬變力做功問題,可用定積分進(jìn)行計(jì)算,而擊打次數(shù)不限,相當(dāng)于求數(shù)列的極限。

  微分方程模型

  應(yīng)用微分方程解決實(shí)際問題,其實(shí)就是建立微分方程數(shù)學(xué)模型,通過建立微分方程、確定定解條件、求解及對(duì)解的.分析可以揭示許多自然界和科學(xué)技術(shù)中的規(guī)律。應(yīng)用微分方程解決具體問題時(shí),首先將實(shí)際問題抽象,建立微分方程,并給出合理的定解條件;其次求解微分方程的通解及滿足定解條件的特解;最后由所求得的解或解的性質(zhì),回到實(shí)際問題。

  例如:現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī),著陸時(shí)的水平速度為700km/h。經(jīng)測(cè)試,減速傘打開后,飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為k=6.0×106)。問從著陸點(diǎn)算起,飛機(jī)滑行的最長距離是多少? 注:kg表示千克,km/h表示千米/小時(shí)。

  分析:本題是以運(yùn)動(dòng)力學(xué)為背景的數(shù)學(xué)應(yīng)用題,可通過利用牛頓第二定理,列出關(guān)系式后再解微分方程即可。

  概率模型

  關(guān)于概率論的應(yīng)用題主要集中在古典概型、隨機(jī)變量的分布以及隨機(jī)變量的數(shù)字特征等方面。應(yīng)用概率論的知識(shí)解決具體問題時(shí),首先要分析實(shí)際問題,找出隨機(jī)變量的關(guān)系及其分布;下來是列出它們的函數(shù)關(guān)系,利用概率論的有關(guān)知識(shí)求解。

  例如:設(shè)某企業(yè)生產(chǎn)線上產(chǎn)品的合格率為0.96,不合格產(chǎn)品中只有3/4的產(chǎn)品可進(jìn)行再加工,且再加工的合格率為0.8,其余均為廢品。已知每件合格品可獲利80元,每件廢品虧損20元,為保證該企業(yè)每天平均利潤不低于2萬元,問該企業(yè)每天至少應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)品?

  分析:本題為概率論中的數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用,有關(guān)數(shù)字特征的應(yīng)用題主要是隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差等,求解這類問題的關(guān)鍵是找出函數(shù)關(guān)系。根據(jù)題設(shè)列出方程求解。

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